SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Se dice que una función f(x), es solución de una ecuación diferencial, en un intervalo I si al sustituirse en la ecuación diferencial original junto con todas sus derivadas, la igualdad se cumple; es decir, una solución de una ecuación diferencial es una función F(x), que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación. 

    Solución explícita: es aquella donde la variable dependiente se expresa solamente en términos de la variable independiente y constantes.

    Solución implícita: es aquella relación que se expresa de la forma:

    Solución General: es aquella solución de una ecuación diferencial de orden n, que incluirá n constantes arbitrarias.

    Solución Particular: es aquella donde no aparece ninguna constante arbitraria y se obtiene  a  partir  de  la  solución  general  para  valores  conocidos  de  las  contantes arbitrarias.Es decir, encontramos la solución general, y luego dadas ciertas condiciones, sobre las  variables  en  cuestión,  se  obtiene  el  valor  de  la  constante  o  las  constantes  y  se reemplaza en la función solución.

Ejemplos:

Dadas las soluciones generales anteriores.

    Solución Singular: Es aquella que no se puede obtener de la Solución General, al sustituirse las constantes por valores, es decir; no es una solución particular.No aparece ninguna constante y no depende de la solución general.

Las soluciones singulares de una Ecuación Diferencial se encuentran expresando las condiciones: que  la  ecuación  diferencial  tenga  raíces  múltiples  y que  la  Primitiva también tenga raíces múltiples.En  general,  una  ecuación  de primer  orden  no  tiene  soluciones  singulares;  si  es  de primer grado no tiene soluciones singulares.  

Ejemplo:

            Consideremos   la primitiva de una Ecuación Diferencial

            Derivando tenemos 

            Reemplazando tenemos  observe que no es una ecuación lineal

            Al  resolver  la  ecuación  diferencialse  obtiene  sobre  el  intervalo  (−∞,+∞).  Puede verificar que satisface la ecuación diferencial.Esta función es una parábolaNote que la primitiva es una familia de líneas rectas; así que NO existe un valor para “C” en la primitivaque me dé como resultado una parábola, por lo tanto;   una solución particular de la Ecuación Diferencial.